Breve Explicação
A formulação geral de equivalência de fluxos de caixa em diferentes momentos do tempo é dada pela expressão:
onde 
representa o
fluxo de caixa do momento 
e 
a taxa de juro
(actualização).
Genericamente o cálculo da T.I.R. implicará resolver a seguinte equação:
de grau e número de raízes igual ao número
de períodos
considerados.
Pelo teorema de Descartes sabe-se que:
"O número de raízes positivas da equação
não ultrapassa o número de variações na sequência dos sinais dos coeficientes, e se for inferior diferirá de um número par." [cit. por Faro, 1979, pag.61].
Em geral, só terão significado económico e financeiro
taxas positivas. Ora, como raízes positivas daquela equação
implicam a existência de taxas superiores a -
100% ( como 
), para
saber qual o número máximo de taxas positivas, será
necessário formular a equação em ordem a
.
Por outro lado, foram estabelecidas condições suficientes para a existência de uma única TIR positiva que, seguindo a apresentação dessas condições feita por Faro [idem, pags. 118-140], são:
-Condições de Soper:
Para 
, se:
, e
,
então 
,
será única.
-Condições de Norstrom:
Considerando:
,
se houver exactamente uma variação de sinal na
sequência de fluxos acumulados e se o produto
for negativo,
então existirá uma única TIR positiva.
-Condições de Faro:
Sendo 
o
máximo de
se:
, e
então existirá uma única TIR positiva.
Tendo em vista determinar a verificação (ou não)
destas condições relativamente a uma série de fluxos de caixa,
bem como a sua reformulação em ordem à TIR, foi elaborado um
programa base originalmente escrito na linguagem "Basic". Esse programa,
objecto de algumas revisões, modificações e acrescentos, é aqui disponibilizado para
utilização na "web".
Na concepção daquele programa recorreu-se ao algoritmo de
multiplicação de polinómios proposto por
PINTACUDA [1986, pag.57] e ao método de Newton de
cálculo de raízes de polinómios proposto
por BORCHERS, COOK & POOLE [1983, pags. 97-99].
Referências:
BARBIERI,J. C,; ÁLVARES, A. C. T.; MACHLINE, C. (2007) - "Taxa Interna de Retorno: controvérsias e interpretações", GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas - Ano 2, Vol. 5 out-dez/07, p. 131-142
BORCHERS, Mary; COOK, Steven; POOLE, Lon (1983) - Algunos Programas de Uso Comun en Basic - edicion para Atari, Osborne/MacGraw-Hill
FARO, Clovis de (1979) - Elementos de Engenharia Económica, Editora Atlas,São Paulo, 3a. ed. rev. e ampl.
HAZEN, Gordon B. (2002) - A New Perspective on Multiple Internal Rates of Return, Northwestern University, Illinois, Department of Industrial Engineering and Management Sciences, June 2002
PINTACUDA, Nicolò (1986) - Algoritmi Elementari - Le Procedure di Base della Programmazione, Franco Muzzio & C. Editore, Algoritmos Elementares - Procedimentos Básicos da Programação, trad. port. Editorial Presença, Lisboa, 1988
WHITE, John A.; CASE, Kenneth E. Case; PRATT, David B. (2009) Principles of Engineering Economic Analysis, Wiley, 5th Edition
Exemplos
Vários exemplos podem ser visualizados. Esses exemplos incluem casos de verificação de cada uma das condições suficientes apresentadas em Breve Explicação, bem como de casos de TIRs positivas (com multiplicidade igual a 1 ou superior) de acordo com o seguinte quadro:
|
Exemplos |
Fluxos |
Número de raízes positivas |
Condições de Soper |
Condições de Norstrom |
Condições de Faro |
Número de TIRs positivas |
|
1 |
-2;1;4;-4;16 |
3 |
SIM |
NÃO |
NÃO |
1 |
|
2 |
-9;7;7;-3 |
2 |
NÃO |
SIM |
SIM |
1 |
|
3 |
-1;3;-1;4 |
3 |
SIM |
SIM |
NÃO |
1 |
|
4 |
-8;3;3;3;-2;3;-1 |
4 |
NÃO |
NÃO |
SIM |
1 |
|
5 |
-400;880;-483 |
2 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
2 |
|
6 |
-8;6;20;-8;16 |
3 |
SIM |
SIM |
NÃO |
1 |
|
7 |
-1;6;-13;14;-12;8 |
5 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
3 |
|
8 |
-2;6;-5;2 |
3 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
1 |
|
9 |
-20;89;-128;60 |
3 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
3 |
|
10 |
-1;6;-12;8 |
3 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
3 |
|
11 |
-2;6;-5;8 |
3 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
1 |
|
12 |
-4000;16400;-22320;10080 |
3 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
3 |
|
13 |
-1600;10000;-10000 |
2 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
2 |
|
14 |
-1000;2400;-1430 |
2 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
2 |
|
15 |
-1;6;-11;6 |
3 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
2 |
|
16 |
-4;3;2,25;1,5;0,75;0;-0,75;-1,25;-2;25 |
2 |
NÃO |
NÃO |
NÃO |
2 |
Como Usar
Introduza a periodicidade de fluxos no ano – por defeito é assumido um único fluxo anual (nº de fluxos num ano = 1), bem como o nº total de fluxos, incluíndo o inicial.
Click em "Introduzir fluxos" para introduzir os valores.
Introduza os valores dos fluxos que são pedidos, Click em "processar" e … aguarde o resultado.
Comentários e sugestões são muito bem-vindos.